E^3 Te Verilen Bir Eğri Boyunca Sabit Ortalama Eğrilikli Yüzey Ailesi

Abstract

In this thesis, the sufficient conditions are obtained to find surfaces that pass through any given curve in 3-dimensional Euclidean space and whose mean curvature is constant along this curve. The given curve is assumed to be regular with nonvanishing acceleration. For this purpose, firstly, surfaces passing through the given curve are expressed parametrically with the help of the tangent vector field, the principal normal vector field and the binormal vector field of the Frenet frame of the given curve, and the so called marching scale functions which are real valued C1 functions of two variables. The mean curvature of these surfaces along the given curve was calculated in terms of curvature and torsion of the given curve and, marching scale functions and their partial derivatives. Sufficient conditions are obtained to keep the mean curvature constant along the given curve. Some examples are given. This study consists of five chapters. In the first chapter, the purpose of the thesis and the previous studies are explained. In the second part, basic definitions and theorems related to 3-dimensional Euclidean space are given. In the third chapter, conditions are obtained for finding surfaces passing through a given curve in Euclidean space and accepting this curve both as a parameter curve and a geodesic. The fourth part constitutes the original part of the thesis. In this section, conditions are obtained to find surfaces whose mean curvature is constant along a given curve in Euclidean space. In the last chapter, the results obtained in the study are discussed and the future studies are argued.

Bu tez çalışmasında, 3 boyutlu Öklid uzayında verilen herhangi bir eğriden geçen ve bu eğri boyunca ortalama eğriliği sabit olan yüzeyler için yeterli şartların elde edilmesi amaçlanmaktadır. Verilen eğrinin regüler olduğu ve her noktasındaki ivme vektörünün sıfırdan farklı olduğu kabul edilmiştir. Verilen eğrinin Frenet çatısında yer alan teğet vektör alanı, asli normal vektör alanı ve binormal vektör alanı ile sapma fonksiyonları adı verilen C1 sınıfından, iki değişkenli, reel değerli fonksiyonlar yardımıyla bu eğriden geçen yüzeyler parametrik olarak ifade edilmiştir. Eğrinin yüzeyler üzerinde parametre eğrisi olduğu kabul edilerek bu yüzeylerin, verilen eğri boyunca ortalama eğriliği; eğrinin eğriliği, burulması, sapma fonksiyonları ve bunların kısmi türevleri cinsinden hesaplanmıştır. Verilen eğri boyunca ortalama eğriliğin sabit olması için yeterli şartlar elde edilmiştir. Elde edilen sonuçları destekleyecek bazı örnekler verilmiştir. Bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm tezin amacına ve daha önce yapılan çalışmalara ayrılmıştır. İkinci bölümde, 3-boyutlu Öklid uzayı ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, Öklid uzayında herhangi bir eğriden geçen ve bu eğriyi hem parametre eğrisi hem de geodezik kabul eden yüzeyler bulmak için şartlar elde edilmiştir. Dördüncü bölüm, tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde Öklid uzayında alınan herhangi bir eğri boyunca ortalama eğriliği sabit olan yüzeyler bulmak için şartlar elde edilmiş ve örnekler verilmiştir. Beşinci ve son bölümde ise çalışmada elde edilen sonuçlar tartışılarak yapılabilecek çalışmalar üzerinde durulmuştur.