C* Cebirlerinde Bazı Spektrum Özellikleri

Abstract

Tez esas olarak dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez konusu tanıtıldı ve bu konuyla ilgili şimdiye kadar yapılan çalışmalar hakkında kısa bilgi verildi. İkinci bölümde, C*- cebirleri ile ilgili temel tanım ve özellikler verildi. Ayrıca Gelfand Naimark teoremi kullanılarak L1(IR) Banach cebirinin C*- cebiri olmadığı gösterildi. Üçüncü bölümde, ilk olarak, C*- cebirlerinde üreteç ve pozitif elemanlara ait bazı özellikler verilerek, φ:A → B * - homomorfizmi olmak üzere A ve B C*- cebirlerinin pozitif ve hermit elemanları arasındaki ilişki ile φ dönüşümünün spektral yarıçapı koruma özelliği incelendi. Üçüncü bölümün ikinci kısmında, A ve B C*- cebirleri için hangi koşullar altında φ:A → B * - homomorfizminin spektrumu koruyan bir dönüşüm olacağı araştırıldı ve bununla ilgili sonuçlar elde edildi. Üçüncü bölümde son olarak, A ve B C*- cebirlerinin cebirsel dual uzayları arasında tanımlanan φ* dönüşümünün hangi koşullar altında B cebirinin kompleks homomorfizmler uzayını yani maksimal idealler uzayını A cebirinin kompleks homomorfizmler uzayına yani maksimal idealler uzayına dönüştüreceği çalışıldı. Buradan elde edilen sonuç ile φ dönüşümünün spektral yarıçapı ve spektrumu koruyan bir dönüşüm olması arasındaki ilişki irdelendi. Dördüncü bölümde ise sonuç ve önerilere yer verildi.

This thesis essentially consists of four chapters. In the first chapter, the topic of the thesis is introduced and short information about the works, done so far related to this topic, is given. In the second chapter, basic definitions and properties related to C*- algebras are given. Also, using Gelfand Naimark theorem, it is shown that Banach algebra L1(IR) is not a C*- algebra. In the third chapter, firstly, giving some properties that belong to generators and positive elements of C*- algebras, relation between positive and hermitian elements of two C*- algebras A and B and the property to preserve spectral radius of φ:A → B which is a * - homomorphism is examined. Secondly, it is studied that for C*- algebras A and B, under what conditions * - homomorphism φ:A → B will be a map preserving spectrum. Therefore, results related to that are obtained. Thirdly, it is investigated that under what conditions, the mapping φ* that defined between algebraic dual spaces C*- algebras A and B, will map the space of complex homomorphisms of B (maximal ideal space of B) to the space of complex homomorphisms of A (maximal ideal space of A). Also, relation between this result and the property to preserve spectral radius of φ:A → B, is examined. In the fourth chapter, conclusions and recommendations are given.